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衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文理, 含解析), 高分必备!

2019-9-15 18:41:49   来源:教育   阅读:10291   我要评论 
内容摘要:衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文理,含解析),高分必备!一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.集合A={x|lnx≥0},B={x|x2<16},则A∩B=(  )A.(1,4)B.[1,4)C.[1,+∞)D.[e,...


江苏快三 衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文理, 含解析), 高分必备!


衡水中学2020届高三上学期一调数学卷(文理,_含解析),_高分必备!


一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.


1.集合A={x|lnx0}B={x|x216},则A∩B=(  )
A.(14) B[14) 
C[1+) D[e4


2.设a=log0.80.9b=log1.10.9c=1.10.9,则abc的大小关系是C(  )
Aabc Bac
Cbac Dcab


3.已知a1

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,则
fx1成立的一个充分不必要条件是(  )
A0x1     B.﹣1x
C.﹣2x0  D.﹣2x1


4.已知函数

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,则fff(﹣1)))的值等于(  )
Aπ2﹣1 Bπ2+1 Cπ  D0


5.曲线

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x轴所围图形的面积为(  )
A4  B2  C1  D3
7.已知函数fx)的图象如图所示,则fx)的解析式可能是(  )

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  1. fx=

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    ﹣x3    B
    fx=

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    +
    x3
Cfx=

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﹣x3      D
fx=

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+
x3w


8.设fx)是奇函数,对任意的实数xy,有fx+y=fx+fy),当x0时,fx)<0,则fx)在区间[ab]上(  )
A.有最大值fa
B.有最小值fa
C.有最大值

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D.有最小值

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9.已知函教fx=Asinωx+φ)(A0ω0)的图象与直线y=b0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是248,则fx)的单调递增区间是(  )
A[6kπ6kπ+3]kZ  
B[6k﹣36k]kZ4
C[6k6k+3]kZ     
D[6kπ﹣36kπ]kZP


10.若不等式lg

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x﹣1lg3对任意x(﹣∞,1)恒成立,则a的取值范围是(  )
A.(﹣∞,0B[1+
C[0+)  D.(﹣∞,1]a


11.设fx)是定义在R上的函数,其导函数为f′x),若fx+f′x)>1f0=2015,则不等式exfx)>ex+2014(其中e为自然对数的底数)的解集为(  )
AB.(﹣∞,0)∪
C.(﹣∞,0)∪(0+D.(0+
12.设函数fx=

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sin

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,若存在fx)的极值点x0满足x02+[fx0]2m2,则m的取值范围是(  )


A.(﹣∞,﹣6)∪(6+
B.(﹣∞,﹣4)∪(4+
C.(﹣∞,﹣2)∪(2+
D.(﹣∞,﹣1)∪(1+Y


二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)


13.若非零向量

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满足
|

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+

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|
=|

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|
=2|

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|
,则向量

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+

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的夹角为  


14.设函数y=fx)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数

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,则称函数
fpx)为fx)的“p界函数”,若给定函数fx=x2﹣2x﹣1p=2,则下列结论不成立的是:  K


fp[f0]=f[fp0]      
fp[f1]=f[fp1]
fp[fp2]=f[f2]     
fp[fp3]=f[f3]
15.已知fx)是定义在R上且周期为3的函数,当x[03)时,fx=|x2﹣2x+

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|
,若函数y=fx)﹣a在区间[﹣34]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是  

16.已知abc分别为△ABC的三个内角ABC的对边,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB=c﹣bsinC,则△ABC面积的最大值为  x


三、解答题(本大题共6小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.


17.已知aR,命题p:“x[12]x2﹣a0”,命题q:“xRx2+2ax+2﹣a=0”
1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
2)若命题“pq”为真命题,命题“pq”为假命题,求实数a的取值范围.=


18.在△ABC中,内角ABC所对的边分别为abc,已知sinC+sinB﹣A=

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sin2A
A

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(Ⅰ)求角A的取值范围;
(Ⅱ)若a=1,△ABC的面积S=

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C为钝角,求角A的大小.


19.已知函数fx=ex+ax﹣1e为自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=1时,求过点(1f1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若fx)≥x2在(01)上恒成立,求实数a的取值范围.


20.已知函数fx)满足2fx+2)﹣fx=0,当x02)时,fx=lnx+ax

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,当x(﹣4,﹣2)时,fx)的最大值为﹣4
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)设b0,函数

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x12).若对任意的x112),总存在x212),使fx1)﹣gx2=0,求实数b的取值范围.


21.已知函数fx=x3+

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+
ax+b
gx=x3+

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+
lnx+b
,(ab为常数).
(Ⅰ)若gx)在x=1处的切线过点(0,﹣5),求b的值;
(Ⅱ)设函数fx)的导函数为f′x),若关于x的方程fx)﹣x=xf′x)有唯一解,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)令Fx=fx)﹣gx),若函数Fx)存在极值,且所有极值之和大于5+ln2,求实数a的取值范围.


22.已知函数

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(Ⅰ)求函数fx)的单调区间,并判断是否有极值;
(Ⅱ)若对任意的x1,恒有lnx﹣1+k+1kx成立,求k的取值范围;
(Ⅲ)证明:

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nN+n2).


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2020届衡水中学高三上学期第一次卷理(含解析)



一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.


1.集合A={x|lnx0}B={x|x216},则A∩B=(  )
A.(14B[14
C[1+D[e4


【考点】交集及其运算.
【分析】求出AB中不等式的解集确定出AB,找出两集合的交集即可.
【解答】解:由Alnx0=ln1,得到x1,即A=[1+);
B中的不等式解得:﹣4x4,即B=(﹣44),
A∩B=[14).
故选B
2.设a=log0.80.9b=log1.10.9c=1.10.9,则abc的大小关系是C(  )
AabcBacb
CbacDcab

【考点】对数值大小的比较.
【分析】利用指数与对数函数的单调性即可得出.
【解答】解:∵0a=log0.80.91b=log1.10.90c=1.10.91
bac.故选:C


3.已知a1

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,则
fx)<1成立的一个充分不必要条件是(  )
A0x1B.﹣1x0
C.﹣2x0D.﹣2x1


【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断;指数函数的单调性与特殊点.
【分析】求出不等式的解集即不等式成立的充要条件;据当集合A集合BBA时,AB的充分不必要条件.
【解答】解:fx)<1成立的充要条件是

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a1  x2+2x0
∴﹣2x0
fx)<1成立的一个充分不必要条件是﹣1x0
故选项为B


4.已知函数

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,则
fff(﹣1)))的值等于(  )
Aπ2﹣1Bπ2+1CπD0


【考点】函数的值.
【分析】根据分段函数的定义域,求出f(﹣1)的值,再根据分段函数的定义域进行代入求解;


【解答】解:函数

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f(﹣12+10
ff(﹣1))=0
可得f0
fff(﹣1)))
故选C; 


5.曲线

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x轴所围图形的面积为(  )
A4B2C1D3


【考点】余弦函数的图象;定积分的简单应用.
【分析】根据面积等于cosx的绝对值在0x

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上的积分可求出答案.
【解答】解:面积等于cosx的绝对值在0x

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上的积分,
S=

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=3

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=3

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=3
故选:D


6.函数y=sin2x﹣

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)的图象与函数y=cosx﹣

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)的图象(  )
A.有相同的对称轴但无相同的对称中心
B.有相同的对称中心但无相同的对称轴
C.既有相同的对称轴也有相同的对称中心
D.既无相同的对称中心也无相同的对称轴


【考点】函数y=Asinωx+φ)的图象变换.
【分析】分别求出2函数的对称轴和对称中心即可得解.
【解答】解:由2x﹣

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=k

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kZ,可解得函数y=sin2x﹣

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)的对称轴为:x=

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+

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kZ
x﹣

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=kπ
kZ,可解得函数y=cosx﹣

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)的对称轴为:x=kπ

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kZ
k=0时,二者有相同的对称轴.
2x﹣

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=kπ
kZ,可解得函数y=sin2x﹣

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)的对称中心为:(

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0),kZ
x﹣

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=k

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kZ,可解得函数y=cosx﹣

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)的对称中心为:(+

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0),kZ
2函数没有相同的对称中心.
故选:A. 


7.已知函数fx)的图象如图所示,则fx)的解析式可能是(  )

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Afx=

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﹣x3
Bfx=

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+
x3
Cfx=

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﹣x3
Dfx=

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+
x3


【考点】函数的图象.
【分析】本题是选择题,可采用排除法,根据函数的定义域可排除选项C再根据特殊值排除BD,即可得到所求
【解答】解:由图象可知,函数的定义域为xaa0,故排除C
x→+时,y→0,故排除B,当x→﹣∞时,y→+,故排除B
x=1时,对于选项Af1=0,对于选项Df1=﹣2,故排除D
故选:A


8.设fx)是奇函数,对任意的实数xy,有fx+y=fx+fy),当x0时,fx)<0,则fx)在区间[ab]上(  )
A.有最大值fa
B.有最小值fa
C.有最大值

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D.有最小值

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【考点】函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明;函数的最值及其几何意义.
【分析】利用函数单调性的定义,先设x1x2x2﹣x10,结合题意得fx2﹣x1)<0,再结合(x+y=fx+fy)得fx2﹣x1=fx2+f(﹣x1)<0,最后利用函数为奇函数得到fx2)﹣fx1)<0,得到函数为R上的减函数.由此不难得到正确选项.


【解答】解:任取x1x2x2﹣x10
x0时,fx)<0
fx2﹣x1)<0
fx2+f(﹣x1)<0
fx)是奇函数,
fx2)﹣fx1)<0
fx2)<fx1
fx)在R上递减.
fx)在区间[ab]上有最大值fa),最小值fb
故选A


9.已知函教fx=Asinωx+φ)(A0ω0)的图象与直线y=b0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是248,则fx)的单调递增区间是(  )
A[6kπ6kπ+3]kZ  
B[6k﹣36k]kZ
C[6k6k+3]kZ     
D[6kπ﹣36kπ]kZ


【考点】函数y=Asinωx+φ)的图象变换.
【分析】先根据交点横坐标求出最小正周期,进而可得w的值,再由当x=3时函数取得最大值确定φ的值,最后根据正弦函数的性质可得到答案.
【解答】解:∵函教fx=Asinωx+φ)(A0ω0)的图象与直线y=b0bA)的三个相邻交点的横坐标分别是248
T=6=

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w=

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,且当x=3时函数取得最大值

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×3+φ=

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φ=﹣

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fx=Asin

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πx﹣

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∴﹣

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πx﹣

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6kx6k+3
故选C
10.若不等式lg

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x﹣1lg3对任意x(﹣∞,1)恒成立,则a的取值范围是(  )
A.(﹣∞,0B[1+
C[0+)  D.(﹣∞,1]


【考点】函数恒成立问题.
【分析】不等式lg

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x﹣1lg3可整理为

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,然后转化为求函数
y=

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在(﹣∞,1)上的最小值即可,利用单调性可求最值.


【解答】解:不等式lg

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x﹣1lg3
即不等式lg

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lg3x﹣1

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,整理可得

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y=

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在(﹣∞,1)上单调递减,
x(﹣∞,1y=

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=1
要使圆不等式恒成立,只需a1,即a的取值范围是(﹣∞,1]
故选D. 


11.设fx)是定义在R上的函数,其导函数为f′x),若fx+f′x)>1f0=2015,则不等式exfx)>ex+2014(其中e为自然对数的底数)的解集为(  )
AB.(﹣∞,0)∪
C.(﹣∞,0)∪(0+D.(0+


【考点】函数单调性的性质.
【分析】构造函数gx=exfx)﹣ex,(xR),研究gx)的单调性,结合原函数的性质和函数值即可求解.
【解答】解:设gx=exfx)﹣ex,(xR),
g′x=exfx+exf′x)﹣ex=ex[fx+f′x)﹣1]
fx+f′x)>1
fx+f′x)﹣10
g′x)>0
y=gx)在定义域上单调递增,
exfx)>ex+2014
gx)>2014
又∵g0=e0f0)﹣e0=2015﹣1=2014
gx)>g0),
x0
故选D. 


12.设函数fx=

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sin

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,若存在fx)的极值点x0满足x02+[fx0]2m2,则m的取值范围是(  )
A.(﹣∞,﹣6)∪(6+
B.(﹣∞,﹣4)∪(4+
C.(﹣∞,﹣2)∪(2+
D.(﹣∞,﹣1)∪(1+


【考点】正弦函数的定义域和值域.
【分析】由题意可得,fx0=±

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,且

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=kπ+

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kz,再由题意可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为

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|m|,可得m2

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m2+3,由此求得m的取值范围.
【解答】由题意可得,fx0=±

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,且

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=kπ+

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kz,即x0=

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m
再由x02+[fx0]2m2,可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为

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|m|
m2

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m2+3,∴m24
求得m2,或m<﹣2
故选C


二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)


13.若非零向量

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满足
|

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+

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|
=|

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|
=2|

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|
,则向量

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+

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的夹角为30° .
【考点】平面向量数量积的运算.
【分析】将已知等式平方展开得到

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=0

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,令

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=

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,则由

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=0

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,可得四边形
OACB为矩形,∠BOC为向量

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+

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的夹角,数形结合求得cosBOC的值,可得∠BOC的值,即为所求
【解答】解:因为非零向量

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满足
|

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+

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|2=|

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|
2=4|

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|
2
,化简得

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=0

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=

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,则由

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=0

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,可得四边形
OACB为矩形,∠BOC为向量

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+

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的夹角.
OA=1,则OC=2,直角三角形OBC中,cosBOC=

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=

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∴∠BOC=30°
故答案为30°. 


14.设函数y=fx)在R上有定义,对于任一给定的正数p,定义函数

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,则称函数
fpx)为fx)的“p界函数”,若给定函数fx=x2﹣2x﹣1p=2,则下列结论不成立的是: ② 
fp[f0]=f[fp0]      fp[f1]=f[fp1]
fp[fp2]=f[f2]      fp[fp3]=f[f3]


【考点】函数解析式的求解及常用方法.
【分析】本题属创新类型的函数定义题.此题的关键在于理解函数fpx)的定义,则根据给定定义写成fx=x2﹣2x﹣1p=2的分段函数形式即fpx=

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【解答】解:根据题意写成fx=x2﹣2x﹣1p=2的分段函数形式即f2x=

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fp[f0]=f2(﹣1=2f[fp0]=f[f20]=f(﹣1=2,故①成立;
fp[f1]=f2(﹣2=2f[fp1]=f[f21]=f(﹣2=7,故②不成立;
fp[fp2]=f2[f22]=2f[f2]=2,故③成立;
fp[fp3]=f2[f23]=﹣1f[f3]=﹣1,故④成立;
所以只有②结论不正确,故本题答案为:②


15.已知fx)是定义在R上且周期为3的函数,当x[03)时,fx=|x2﹣2x+

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|
,若函数y=fx)﹣a在区间[﹣34]上有10个零点(互不相同),则实数a的取值范围是 (0

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) .


【考点】根的存在性及根的个数判断.
【分析】在同一坐标系中画出函数的图象与直线y=a的图象,利用数形结合判断a的范围即可.
【解答】fx)是定义在R上且周期为3的函数,当x[03)时,fx=|x2﹣2x+

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|
,若函数y=fx)﹣a在区间[﹣34]上有10个零点(互不相同),在同一坐标系中画出函数fx)与y=a的图象如图:由图象可知

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故答案为:(0

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).


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16.已知abc分别为△ABC的三个内角ABC的对边,a=2且(2+b)(sinA﹣sinB=c﹣bsinC,则△ABC面积的最大值为

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【考点】余弦定理;正弦定理.
【分析】由正弦定理化简已知可得2a﹣b2=c2﹣bc,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc4,再利用三角形面积公式即可计算得解.
【解答】因为:(2+b)(sinA﹣sinB=c﹣bsinC
2+b)(a﹣b=c﹣bc
2a﹣b2=c2﹣bc
又因为:a=2
所以:

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ABC面积

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b2+c2﹣a2=bc
b2+c2﹣bc=a2
b2+c2﹣bc=4
bc4
所以:

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,即△
ABC面积的最大值为

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故答案为

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. 


三、解答题(本大题共6小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.


17.已知aR,命题p:“x[12]x2﹣a0”,命题q:“xRx2+2ax+2﹣a=0”
1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
2)若命题“pq”为真命题,命题“pq”为假命题,求实数a的取值范围.


【考点】复合命题的真假;命题的真假判断与应用.
【分析】1)由于命题p:“x[12]x2﹣a0”,令fx=x2﹣a,只要x[12]时,fxmin0即可;
2)由(1)可知,当命题p为真命题时,a1,命题q为真命题时,△=4a2﹣42﹣a)≥0,解得a的取值范围.由于命题“pq”为真命题,命题“pq”为假命题,可知:命题p与命题q必然一真一假,解出即可.


【解答】1)∵命题p:“x[12]x2﹣a0”,令fx=x2﹣a


根据题意,只要x[12]时,fxmin0即可,
也就是1﹣a0,解得a1
实数a的取值范围是(﹣∞,1]  


2)由(1)可知,当命题p为真命题时,a1
命题q为真命题时,△=4a2﹣42﹣a)≥0,解得a﹣2a1
命题“pq”为真命题,命题“pq”为假命题,
命题p与命题q必然一真一假,
当命题p为真,命题q为假时,

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当命题p为假,命题q为真时,

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综上:a1或﹣2a1


18.在△ABC中,内角ABC所对的边分别为abc,已知sinC+sinB﹣A=

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sin2A
A

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(Ⅰ)求角A的取值范围;
(Ⅱ)若a=1,△ABC的面积S=

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C为钝角,求角A的大小.


【考点】余弦定理;两角和与差的正弦函数.
【分析】(Ⅰ)化简已知等式可得:2sinBcosA=2

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sinAcosA
,由cosA0,根据正弦定理,得b=

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,又0sinB1,可得0sinA

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从而得解.
(Ⅱ)由(Ⅰ)及a=1b,又S=

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,结合C为钝角,可求C,由余弦定理可求得c的值,由正弦定理可求sinA=

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,从而得解.


【解答】(Ⅰ)由sinC+sinB﹣A=

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sin2A
,得sinB+A+sinB﹣A=2

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sinAcosA
即:2sinBcosA=2

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sinAcosA
,因为cosA0sinB=

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sinA
  
由正弦定理,得b=

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,故A必为锐角. 
0sinB10sinA

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因此角A的取值范围为(0

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]
(Ⅱ)由(Ⅰ)及a=1b=

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.又因为S=

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,所以

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从而sinC=

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.因为C为钝角,故C=

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由余弦定理,得c2=1+2﹣2×

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=1+2﹣2×

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=2+

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故有c=

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由正弦定理,得sinA=

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=

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=

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因此A=

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19.已知函数fx=ex+ax﹣1e为自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=1时,求过点(1f1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(Ⅱ)若fx)≥x2在(01)上恒成立,求实数a的取值范围.


【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数恒成立问题.
【分析】I)当a=1时,fx=ex+x﹣1,根据导数的几何意义可求得在点(1f1))处的切线的斜率,再由点斜式即可得切线方程,分别求出切线与x轴、y轴的交点AB,利用直角三角形的面积公式即可求得;
II)将fx)≥x2在(01)上恒成立利用参变量分离法转化为

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在(
01)上恒成立,再利用导数研究不等式右边的函数的单调性,从而求出函数的最大值,即可求出a的取值范围.


【解答】解:(I)当a=1时,fx=ex+x﹣1f1=ef'x=ex+1f'1=e+1
函数fx)在点(1f1))处的切线方程为y﹣e=e+1)(x﹣1),即y=e+1x﹣1
设切线与x轴、y轴的交点分别为AB
A

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B0,﹣1),

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过点(1f1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为

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II)由fx)≥x2

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hx=

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kx=x+1﹣ex…k'x=1﹣ex
x01),∴k'x)<0
kx)在(01)上是减函数,∴kx)<k0=0
因为x﹣10x20,所以

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hx)在(01)上是增函数.
所以hx)<h1=2﹣e,所以a2﹣e


20.已知函数fx)满足2fx+2)﹣fx=0,当x02)时,fx=lnx+ax

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,当x(﹣4,﹣2)时,fx)的最大值为﹣4
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)设b0,函数

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x12).若对任意的x112),总存在x212),使fx1)﹣gx2=0,求实数b的取值范围.


【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数最值的应用.
【分析】I)先求出函数在(﹣4,﹣2)上的解析式,利用函数的导数求出函数的最大值(用a表示),令其等于﹣4,从而求出a
II)由任意的x112),总存在x212),使fx1)﹣gx2=0,函数fx)的值域是函数gx)值域的子集,即转化为求两个函数的值域,用函数的导数法即可解决.


【解答】解:(I)由已知,得2fx+2=fx),
fx=2fx+2=4fx+4
x02)时,fx=lnx+ax
x(﹣4,﹣2),则x+402),
fx+4=lnx+4+ax+4),
x(﹣4,﹣2)时,fx=4fx+4=4lnx+4+4ax+4),
所以

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x(﹣4,﹣2),
∴﹣4ax4+16a

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又由

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,可得

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fx)在

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上是增函数,在

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上是减函数,


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a=﹣1


II)设fx)的值域为Agx)的值域为B
则由已知,对于任意的x112),总存在x212),使fx1)﹣gx2=0得,AB
由(Ia=﹣1,当x12)时,fx=lnx﹣x

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x12),
f′x)<0fx)在x12)上单调递减函数,
fx)的值域为A=ln2﹣2,﹣1
g'x=bx2﹣b=bx﹣1)(x+1),
1)当b0时,gx)在(12)上是减函数,
此时,gx)的值域为

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为满足AB,又

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.即

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2)当b0时,gx)在(12)上是单调递增函数,
此时,gx)的值域为

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,为满足
AB
又,∴

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综上可知b的取值范围是

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21.已知函数fx=x3+

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+
ax+b
gx=x3+

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+
lnx+b
,(ab为常数).
(Ⅰ)若gx)在x=1处的切线过点(0,﹣5),求b的值;
(Ⅱ)设函数fx)的导函数为f′x),若关于x的方程fx)﹣x=xf′x)有唯一解,求实数b的取值范围;
(Ⅲ)令Fx=fx)﹣gx),若函数Fx)存在极值,且所有极值之和大于5+ln2,求实数a的取值范围.


【考点】利用导数研究函数的极值;利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】(Ⅰ)求函数的导数,利用导数的几何意义即可求b的值;
(Ⅱ)求出方程fx)﹣x=xf′x)的表达式,利用参数分离法构造函数,利用导数求出函数的取值范围即可求实数b的取值范围;
(Ⅲ)求函数的导数,利用导数和极值之间的关系进行求解即可,


【解答】解:(Ⅰ)设gx)在x=1处的切线方程为y=kx﹣5
因为

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所以k=11,故切线方程为y=11x﹣5
x=1时,y=6,将(16)代入

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(Ⅱ)f'x=3x2+5x+a
由题意得方程

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有唯一解,
即方程

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有唯一解.

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,则
h'x=6x2+5x+1=2x+1)(3x+1),
所以hx)在区间

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上是增函数,在区间

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上是减函数.

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故实数b的取值范围是

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(Ⅲ)Fx=ax﹣x2﹣lnx


所以

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因为Fx)存在极值,所以

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在(
0+)上有根,
即方程2x2﹣ax+1=0在(0+)上有根,则有△=a2﹣80
显然当△=0时,Fx)无极值,不合题意;
所以方程必有两个不等正根.
记方程2x2﹣ax+1=0的两根为x1x2,则

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=

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解得a216,满足△>0


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,即
a0
故所求a的取值范围是(4+). 


22.已知函数

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(Ⅰ)求函数fx)的单调区间,并判断是否有极值;
(Ⅱ)若对任意的x1,恒有lnx﹣1+k+1kx成立,求k的取值范围;
(Ⅲ)证明:

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nN+n2).


【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值;数列的求和.
【分析】(Ⅰ)

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,(
x0),

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,分别解出
f'x)>0f'x)<0,即可得出单调区间、极值;
II)方法1:由lnx﹣1+k+1kx,分离参数可得:kfx﹣1max对任意的x1恒成立,由(I)即可得出.
方法2:记gx=lnx﹣1)﹣kx﹣1+1

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,对
k分类讨论研究其单调性即可得出;
(Ⅲ)

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,由(Ⅰ)知:

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(当且仅当
x=1取等号).令x=n2nN*n2),即

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,再利用“累加求和”、“裂项求和”即可得出.


【解答】(Ⅰ)解:

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,(
x0),

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x01),f'x)>0,当x1+),f'x)<0
fx)在区间(01)上单调递增,在区间(1+)上单调递减,
x=1处取得极大值,极大值为f1=1,无极小值.
(Ⅱ)解:方法1:∵lnx﹣1+k+1kx

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kfx﹣1max对任意的x1恒成立,由(1)知fxmax=f1=1


则有fx﹣1max=1,∴k1
方法2:记gx=lnx﹣1)﹣kx﹣1+1

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k0时,g'x)≥0
k0时,由g'x)>0

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即当k0时,gx)在(1+)上为增函数;
k0时,

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上为增函数;在

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上为减函数.


对任意的x1,恒有lnx﹣1+k+1kx成立,
即要求gx)≤0恒成立,
k0符合,且

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,得
k1
(Ⅲ)证明:

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,由(Ⅰ)知

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(当且仅当
x=1取等号).
x=n2nN*n2),即

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,则有

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一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.


1.已知集合A={﹣202}B={x|x2﹣x﹣2=0},则A∩B=(  )
A?             B{2}   
C{0}  D{﹣2}


2.复数

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=(  )
Ai      B1+i   
C.﹣i   D1﹣i


3.下列函数为奇函数的是(  )
A2x

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    B
x3sinx  C2cosx+1  Dx2+2x


4.设x0yR,则“xy”是“x|y|的(  )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件


5.设a=40.1b=log40.1c=0.40.2则(  )


Aabc  Bbac  
Cacb  Dbca


6.若变量xy满足

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,则
x2+y2的最大值是(  )


A4  B9  C10  D12


7.已知函数fx=cosx+

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sinx,则函数fx)的图象(  )


A.最小正周期为T=2πB.关于点(

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,﹣

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)对称
C.在区间(0

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)上为减函数
D.关于直线x=

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对称
8.已知

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απ3sin2α=2cosα,则cosα﹣π)等于(  )
A

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B

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C

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D

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9.设函数fx=

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,若ff

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))
=4,则b=(  )
A1 B

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C

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D

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10.若执行如图所示的程序框图,输出S的值为(  )


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A2log23  Blog27  C3  D2


11.一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为(  )


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A

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B

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C

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D

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12.设

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为非零向量,
|

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|
=2|

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|
,两组向量

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,均由
2

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2

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排列而成,若

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+

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+

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+

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所有可能取值中的最小值为4|

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|
2
,则

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的夹角为(  )
A

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B

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C

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D0


二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数fx=2015sinx+x2015+2015tanx+2015,且f(﹣2015=2016,则f2015=  
14.已知函数fx=ax3+x+1的图象在点(1f1))处的切线过点(27),则a=1 .
15.不等式exkx对任意实数x恒成立,则实数k的最大值为  
16.已知△ABC的三边abc满足

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+

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=

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,则角B=  


三、解答题(本大题共5小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.函数fx=3sin2x+

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)的部分图象如图所示.


(Ⅰ)写出fx)的最小正周期及图中x0y0的值;
(Ⅱ)求fx)在区间[

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,﹣

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]上的最大值和最小值.


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18.在△ABC中,内角ABC所对的边分别为abc,已知asin2B=

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bsinA


1)求B
2)已知cosA=

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,求sinC的值.


19.已知函数fx=lnx﹣

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,其中a为常数,且a0


1)若曲线y=fx)在点(1f1))处的切线与直线y=x+1垂直,求函数fx)的单调递减区间;
2)若函数fx)在区间[13]上的最小值为

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,求
a的值.


20.如图所示,在一条海防警戒线上的点ABC处各有一个水声监测点,BC两点到点A的距离分别为20千米和50千米.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后AC同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.


1)设AP的距离为x千米,用x表示BCP的距离,并求x的值;


2)求P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01千米).


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21.已知函数fx=x﹣

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a+1lnxaR).


(Ⅰ)当0a1时,求函数fx)的单调区间;


(Ⅱ)是否存在实数a,使fx)≤x恒成立,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.

[选修4-4:坐标系与参数方程]


22.已知直线l的参数方程为

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,(
t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0


(Ⅰ)把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;


(Ⅱ)将直线l向右平移h个单位,所对直线l′与圆C相切,求h
[选修4-5:不等式选讲]


23.已知函数fx=|2x﹣a|+aaRgx=|2x﹣1|
(Ⅰ)若当gx)≤5时,恒有fx)≤6,求a的最大值;
(Ⅱ)若当xR时,恒有fx+gx)≥3,求a的取值范围.


2020届衡水中学高三上学期
第一次(含解析)
参考答案与试题解析


一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.


1.已知集合A={﹣202}B={x|x2﹣x﹣2=0},则A∩B=(  )
AB{2}C{0}D{﹣2}


【考点】交集及其运算.
【分析】先解出集合B,再求两集合的交集即可得出正确选项.
【解答】解:∵A={﹣202}B={x|x2﹣x﹣2=0}={﹣12}
A∩B={2}
故选B


2.复数

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=(  )
AiB1+iC.﹣iD1﹣i


【考点】复数代数形式的乘除运算.
【分析】将分子分线同乘2+i,整理可得答案.
【解答】解:

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=

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=

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=i
故选:A


3.下列函数为奇函数的是(  )
A2x

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 B
x3sinx C2cosx+1 Dx2+2x


【考点】函数奇偶性的判断.
【分析】根据函数的奇偶性的定,对各个选项中的函数进行判断,从而得出结论.
【解答】解:对于函数fx=2x

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,由于f(﹣x=2﹣x

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=

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﹣2x=﹣f
x),故此函数为奇函数.
对于函数fx=x3sinx,由于f(﹣x=﹣x3(﹣sinx=x3sinx=fx),故此函数为偶函数.
对于函数fx=2cosx+1,由于f(﹣x=2cos(﹣x+1=2cosx+1=fx),故此函数为偶函数.
对于函数fx=x2+2x,由于f(﹣x=(﹣x2+2﹣x=x2+2﹣x﹣fx),且f(﹣x)≠fx),
故此函数为非奇非偶函数.
故选:A. 


4.设x0yR,则“xy”是“x|y|的(  )
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要而不充分条件
D.既不充分也不必要条件


【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【分析】直接根据必要性和充分判断即可.
【解答】解:设x0yR,当x=0y=﹣1时,满足xy但不满足x|y|,故由x0yR,则“xy”推不出“x|y|
而“x|y|“xy”
故“xy”是“x|y|的必要不充分条件,
故选:C


5.设a=40.1b=log40.1c=0.40.2则(  )
Aabc  Bbac  Cacb  Dbca


【考点】对数值大小的比较.
【分析】判断三个数的范围,即可判断三个数的大小.
【解答】解:a=40.11b=log40.10c=0.40.201).
acb
故选:C. 


6.若变量xy满足

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,则
x2+y2的最大值是(  )
A4  B9  C10  D12


【考点】简单线性规划.
【分析】由约束条件作出可行域,然后结合x2+y2的几何意义,即可行域内的动点与原点距离的平方求得x2+y2的最大值.


【解答】解:由约束条件

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作出可行域如图,


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A0,﹣3),C02),
|OA||OC|
联立

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,解得
B3,﹣1).

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x2+y2的最大值是10
故选:C


7.已知函数fx=cosx+

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sinx,则函数fx)的图象(  )
A.最小正周期为T=2πB.关于点(

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,﹣

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)对称
C.在区间(0

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)上为减函数
D.关于直线x=

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对称


【考点】三角函数的周期性及其求法.
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性、单调性以及它的图象的对称性,得出结论


【解答】解:∵函数fx=cosx+

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sinx=

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cosx﹣

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sinx
)?sinx=

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sin2x﹣

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=

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sin2x+cos2x)﹣

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=

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sin
2x+

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+

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故它的最小正周期为

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,故A不正确;
x=

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,求得fx=

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+

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=

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,为函数fx)的最大值,故函数fx)的图象关于直线x=

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对称,
fx)的图象不关于点(

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)对称,故
B不正确、D正确;
在区间(0

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)上,
2x+

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),
fx=

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sin
2x+

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+

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为增函数,故C不正确,
故选:D. 


8.已知

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απ3sin2α=2cosα,则cosα﹣)等于(  )
A

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B

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C

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D

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【考点】二倍角的正弦.
【分析】由条件求得sinαcosα的值,再根据cosα﹣π=﹣cosα求得结果.
【解答】解:∵

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απ3sin2α=2cosα
sinα=

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cosα=﹣

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cosα﹣π=﹣cosα=﹣(﹣

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=

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故选:C. 


9.设函数fx=

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,若ff

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))
=4,则b=(  )
A1        B

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C

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D

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【考点】函数的值;分段函数的应用.
【分析】直接利用分段函数以及函数的零点,求解即可.
【解答】解:函数fx=

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,若ff

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))
=4
可得f

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=4

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,即
b

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,可得

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,解得
b=

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,即
b

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,可得

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,解得
b=

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(舍去).
故选:D. 


10.若执行如图所示的程序框图,输出S的值为(  )

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A2log23  Blog27  C3  D2
【考点】程序框图.
【分析】模拟执行程序框图,可得程序的功能是求S=

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×

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的值,即可求得S的值.
【解答】解:模拟执行程序框图,可得程序的功能是求S=

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×

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的值,
由于S=

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×

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=

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×

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=

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=3
故选:C. 


11.一个四棱锥的三视图如图所示,则该四棱锥的体积为(  )

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A

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B

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C

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D

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【考点】由三视图求面积、体积.
【分析】由三视图可知,几何体是三棱柱割去一个同底等高的三棱锥所得,因此求几何体的体积.
【解答】解:由三视图可知,几何体是底面为直角边为1的等腰直角三角形,高为1的三棱柱割去一个同底等高的三棱锥所得,所以体积为

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故选B. 


12.设

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为非零向量,
|

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|
=2|

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|
,两组向量

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,均由
2

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2

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排列而成,若

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+

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+

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+

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所有可能取值中的最小值为4|

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|
2
,则

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的夹角为(  )
A

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B

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C

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D0


【考点】数量积表示两个向量的夹角.
【分析】两组向量

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,均由
2

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2

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排列而成,结合其数量积组合情况,即可得出结论.
【解答】解:由题意,设

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的夹角为
α
分类讨论可得

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+

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+

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+

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=

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+

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+

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+

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=10|

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|
2
,不满足

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+

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+

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+

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=

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+

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+

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+

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=5|

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|
2+4|

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|
2cosα
,不满足;

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+

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+

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+

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=4

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=8|

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|
2cosα=4|

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|
2
,满足题意,此时cosα=

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的夹角为

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故选:B. 


二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知函数fx=2015sinx+x2015+2015tanx+2015,且f(﹣2015=2016,则f2015=2014


【考点】函数奇偶性.
【分析】利用奇偶性求解即可.
【解答】由解析式fx)﹣2015=2015sinx+x2015+2015tanx,可以看出函数fx)﹣2015为奇函数,从而便有f(﹣2015)﹣2015=﹣[f2015)﹣2015 ],∴f2015=2014


14.已知函数fx=ax3+x+1的图象在点(1f1))处的切线过点(27),则a=1 .


【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出函数的导数,利用切线的方程经过的点求解即可.
【解答】解:函数fx=ax3+x+1的导数为:f′x=3ax2+1f′1=3a+1,而f1=a+2
切线方程为:y﹣a﹣2=3a+1)(x﹣1),因为切线方程经过(27),
所以7﹣a﹣2=3a+1)(2﹣1),
解得a=1
故答案为1. 


15.不等式exkx对任意实数x恒成立,则实数k的最大值为e .


【考点】函数恒成立问题.
【分析】由题意可得fx=ex﹣kx0恒成立,即有fxmin0,求出fx)的导数,求得单调区间,讨论k,可得最小值,解不等式可得k的最大值.
【解答】解:不等式exkx对任意实数x恒成立,即为
fx=ex﹣kx0恒成立,
即有fxmin0
fx)的导数为f′x=ex﹣k
k0ex0,可得f′x)>0恒成立,fx)递增,无最大值;
k0时,xlnkf′x)>0fx)递增;xlnkf′x)<0fx)递减.
即有x=lnk处取得最小值,且为k﹣klnk
k﹣klnk0,解得ke
k的最大值为e
故答案为:e. 


16.已知△ABC的三边abc满足

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+

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=

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,则角B=

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【考点】余弦定理.
【分析】化简所给的条件求得b2=a2+c2﹣ac,利用余弦定理求得cosB=

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的值,可得B的值.
【解答】解:△ABC的三边abc满足

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+

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=

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+

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=3
,∴

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+

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=1
,∴cb+c+aa+b=a+b)(b+c),


b2=a2+c2﹣ac,∴cosB=

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=

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B=

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故答案为:

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. 


三、解答题(本大题共5小题,共70.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.


17.函数fx=3sin2x+

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)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)写出fx)的最小正周期及图中x0y0的值;
(Ⅱ)求fx)在区间[

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,﹣

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]上的最大值和最小值.


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【考点】三角函数的周期性及其求法;正弦函数的定义域和值域.
【分析】(Ⅰ)由题目所给的解析式和图象可得所求;(Ⅱ)由x[

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,﹣

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]可得2x+

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[

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0],由三角函数的性质可得最值.
【解答】解:(Ⅰ)∵fx=3sin2x+

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),
fx)的最小正周期T=

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可知y0为函数的最大值3x0=

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(Ⅱ)∵x[

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,﹣

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]
2x+

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[

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0]
2x+

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=0
,即x=

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时,fx)取最大值0
2x+

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=

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,即x=﹣

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时,fx)取最小值﹣3


18.在△ABC中,内角ABC所对的边分别为abc,已知asin2B=

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bsinA
1)求B
2)已知cosA=

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,求sinC的值.


【考点】解三角形.
【分析】1)利用正弦定理将边化角即可得出cosB
2)求出sinA,利用两角和的正弦函数公式计算.
【解答】解:(1)∵asin2B=

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bsinA
2sinAsinBcosB=

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sinBsinA
cosB=

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,∴B=

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2)∵cosA=

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,∴sinA=

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sinC=sinA+B=sinAcosB+cosAsinB=

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=

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. 


19.已知函数fx=lnx﹣

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,其中a为常数,且a0
1)若曲线y=fx)在点(1f1))处的切线与直线y=x+1垂直,求函数fx)的单调递减区间;
2)若函数fx)在区间[13]上的最小值为

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,求
a的值.


【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.
【分析】1)求出导数,由直线垂直的条件得f'1=﹣1,即可得到a,再令导数小于0,解出即可,注意定义域;
2)对a讨论,①当0a1时,②当1a3时,③当a3时,运用导数判断单调性,求出最小值,解方程,即可得到a的值.


【解答】解:

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x0),


1)因为曲线y=fx)在点(1f1))处的切线与直线y=x+1垂直,
所以f'1=﹣1,即1﹣a=﹣1解得a=2
a=2时,

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,解得
0x2
所以函数的递减区间为(02);
2)①当0a1时,f'x)>0在(13)上恒成立,
这时fx)在[13]上为增函数
fxmin=f1=a﹣1

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,得

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(舍去),
1a3时,由f'x=0得,x=a13
由于对于x1a)有f'x)<0fx)在[1a]上为减函数,
对于xa3)有f'x)>0fx)在[a3]上为增函数,
fxmin=fa=lna

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,得

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a3时,f'x)<0在(13)上恒成立,这时fx)在[13]上为减函数,

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a=4﹣3ln32(舍去)
综上,

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20.如图所示,在一条海防警戒线上的点ABC处各有一个水声监测点,BC两点到点A的距离分别为20千米和50千米.某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后AC同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.
1)设AP的距离为x千米,用x表示BCP的距离,并求x的值;
2)求P到海防警戒线AC的距离(结果精确到0.01千米).


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【考点】解三角形的实际应用.
【分析】1)根据题意可用x分别表示PAPCPB,再利用cosPAB求得AB,同理求得AC,进而根据cosPAB=cosPAC,得到关于x的关系式,求得x
2)作PDACD,根据cosPAD,求得sinPAD,进而求得PD


【解答】解:(1)依题意,有PA=PC=xPB=x﹣1.5×8=x﹣12
在△PAB中,AB=20

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=

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同理,在△PAB中,AC=50

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=

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cosPAB=cosPAC

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解之,得x=31


2)作PDACD,在△ADP中,

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千米
答:静止目标P到海防警戒线AC的距离为18.33千米. 


21.已知函数fx=x﹣

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a+1lnxaR).
(Ⅰ)当0a1时,求函数fx)的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数a,使fx)≤x恒成立,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性.
【分析】(Ⅰ)确定函数fx)的定义域,求导函数,分类讨论,利用导数的正负确定取得函数的单调区间;
(Ⅱ)fx)≤x恒成立可转化为a+a+1xlnx0恒成立,构造函数φx=a+a+1xlnx,则只需φx)≥0x0+)恒成立即可,求导函数,分类讨论,即可求出实数a的取值范围.


【解答】解:(Ⅰ)函数fx)的定义域为(0+),

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1)当0a1时,由f′x)>0得,0xa1x+,由f′x)<0得,ax1
故函数fx)的单调增区间为(0a)和(1+),单调减区间为(a1)…
2)当a=1时,f′x)≥0fx)的单调增区间为(0+)…
(Ⅱ)fx)≤x恒成立可转化为a+a+1xlnx0恒成立,
φx=a+a+1xlnx,则只需φx)≥0x0+)恒成立即可,…
求导函数可得:φ′x=a+1)(1+lnx
a+10时,在

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时,
φ′x)<0,在

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时,
φ′x)>0
φx)的最小值为

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,由

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故当

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fx)≤x恒成立,…
a+1=0时,φx=﹣1φx)≥0x0+)不能恒成立,…
a+10时,取x=1,有φ1=a<﹣1φx)≥0x0+)不能恒成立,…
综上所述当

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时,使
fx)≤x恒成立.… 


[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.已知直线l的参数方程为

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,(
t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ+2=0
(Ⅰ)把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程;
(Ⅱ)将直线l向右平移h个单位,所对直线l′与圆C相切,求h


【考点】简单曲线的极坐标方程.
【分析】(Ⅰ)根据ρ2=x2+y2ρsinθ=y代入到圆的极坐标方程即可.
(Ⅱ)设平移过的直线l'的参数方程为:

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t为参数),将其代入到圆的方程,根据相切的位置关系,即△=0,解出h
【解答】解:(Ⅰ)因为ρ2=x2+y2ρsinθ=y,所以圆C的直角坐标方程为


x2+y2﹣4y+2=0
(Ⅱ)平移直线l后,所得直线l′

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t为参数).
代入圆的方程,整理得,
2t2+2h﹣12t+h﹣102+2=0
因为l′与圆C相切,所以
=4h﹣122﹣8[h﹣102+2]=0,即h2﹣16h+60=0
解得h=6h=10


[选修4-5:不等式选讲]
23.已知函数fx=|2x﹣a|+aaRgx=|2x﹣1|
(Ⅰ)若当gx)≤5时,恒有fx)≤6,求a的最大值;
(Ⅱ)若当xR时,恒有fx+gx)≥3,求a的取值范围.


【考点】绝对值不等式的解法.
【分析】(Ⅰ)由gx)≤5求得﹣2x3;由fx)≤6可得a﹣3x3.根据题意可得,a﹣3﹣2,求得a1,得出结论.
(Ⅱ)根据题意可得fx+gx)≥|a﹣1|+afx+gx)≥3恒成立,可得|a﹣1|+a3由此求得所求的a的范围.
【解答】解:(Ⅰ)当gx)≤5时,|2x﹣1|≤5,求得﹣52x﹣15,即﹣2x3
fx)≤6可得|2x﹣a|≤6﹣a,即a﹣62x﹣a6﹣a,即a﹣3x3
根据题意可得,a﹣3﹣2,求得a1,故a的最大值为1
(Ⅱ)∵当xR时,fx+gx=|2x﹣a|+|2x﹣1|+a≥|2x﹣a﹣2x+1|+a≥|a﹣1|+a
fx+gx)≥3恒成立,∴|a﹣1|+a3,∴a3,或

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求得a3,或2a3,即所求的a的范围是[2+).


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